前頁より続く
１次従属か
１次独立か |
y1 , y2, y3 が
お互いの組み合わせで書ける１次従属のときは、
c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 = 0
の
c1,
c2,
c3 に、
c1=
c2=
c3=0 以外の組み合わせが存在し、
y1 , y2, y3 が
お互いの組み合わせで書けない
１次独立
のときは、
c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 = 0なら
c1=
c2=
c3=0 以外ありえない
ということは、
c1,
c2,
c3 を調べれば、１次従属か、１次独立か、わかりますね。
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未知数３つに
式ひとつでは、、
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-
知りたい数値は
c1,
c2,
c3の３つなのに、今、式が
-
c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 = 0
-
のひとつしかありません。これでは
c1,
c2,
c3は解けません。
そこで、この式を微分して、式を増やすんです。
まず
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c1 y’1 + c2 y’2 + c3 y’3 = 0
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そして
-
c1 y’’1 + c2 y’’2 + c3 y’’3 = 0
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未知数３つなら
式は３つ
無いとね
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ロンスキー行列 |
この連立方程式を、行列を使って書いてみます。
| ( |
y1 |
y2 |
y3 |
) |
| y1’ |
y2’ |
y3’ |
| y1’’ |
y2’’ |
y3’’ |
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= |
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この３×３行列のことをロンスキー行列と呼びます。
もしも、このロンスキー行列に逆行列があるならば
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= |
| ( |
y1 |
y2 |
y3 |
) |
-1 |
| y1’ |
y2’ |
y3’ |
| y1’’ |
y2’’ |
y3’’ |
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とかけるので
c1=c2=c3=0
になってしまいます。
お互いの組み合わせでかけない一次独立ってことです。
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ロンスキー行列
のことを
ロンスキアン
ともいうよ
ロンスキーのつづりは
Wronskyなので
頭文字を取って
行列Wと書く
ことも多いよ
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逆行列が
無いとき、って、、？
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３×３行列W の逆行列W-1は
Wの余因子展開 を、
Wの行列式 |W| で割って求めます。
行列式は det( W ) とかいても |W|と書いてもいいです。
割り算の分母が０では割り算できないので、
行列式が０のときは、逆行列はないんですね。
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余因子展開は
忘れてても
今は大丈夫
行列式は
大学１年の
代数幾何で
習うよね
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ロンスキー行列で
判別
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つまりこういう流れになります。
「ロンスキー行列W の行列式｜W｜が０でない」なら
「ロンスキー行列W の逆行列がある」ので
「 c1=
c2=
c3=0 」なので
「一次独立（組み合わせでかけない）」。
反対に
「一次従属（組み合わせでかける）」なら
「 c1 = c2 = c3 = 0以外の組み合わせがある」はずで
「ロンスキー行列W の逆行列があったら困る」ので
「ロンスキー行列W の行列式｜W｜＝０」のはず。
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|W|≠0なら
一次独立
一次従属
なら|W|=0
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続く
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