理工系の大学や高専で必ず出てくる「オイラーの公式」

e^ix = cos(x) + i sin(x)

初めて見たときはびっくりしましたよね。

右辺はまだいいですよ。 実部が cos(x)、虚部が sin(x) の複素数ってことですよね。
i は２乗したら -1 になるやつ、純虚数とか虚数単位とかいう名前でした。

わけわからないのは左辺ですね。
eの２乗とか３乗とかｘ乗ならともかく、 eの i x 乗とは？？

それに、 右辺の sin(x) や cos(x) と
左辺の「eの何乗」って、形がぜんぜん違うのに、、、、

けれども、これを納得できるなら、
微分積分の面倒な sin(x) や cos(x) を、
微分しても積分してもほとんど形の変わらない e^ix と e^-ix で 書き換えられるので、すごく便利になりますよね。

それでいろいろ探すと、

「cos(x) を テイラー展開すると ああなって」
「sin(x) を テイラー展開すると こうなって」
「cos(x) の テイラー展開　+
　　i かける　sin(x) の テイラー展開　が
　　　　e^ix のテイラー展開と同じになる」

っていう説明が出てきますが、

「テイラー展開って近似なんでしょ？」

と思うと

「近似したもの同士が同じになったからって、
本物同士が同じかどうか判らないじゃん」

などという疑問が沸いてきちゃったりして、
なんだかすっきりしませんね。

テイラー展開を使わない説明ってないでしょうか。